Las deducciones que a lo largo de la historia se han
realizado en torno al Teorema de Pitágoras pueden ayudar en el proceso de
enseñanza-aprendizaje que realmente necesitan nuestros estudiantes, con el fin
de que comprendan los conceptos a través de la reconstrucción de un método, de
tal manera que no mecanicen reglas sino mas bien se logre aumentar y relacionar
los conceptos adquiridos previamente para lograr así una mejor comprensión.
Usaremos el enfoque histórico como una propuesta
metodológica que actué como motivación para el alumno, ya que por medio de ella
el estudiante descubrirá como generar los conceptos a través de métodos que
aprenderá en clase. Discutiremos los conceptos y propiedades fundamentales de magnitudes,
tales como la longitud y el área de figuras geométricas dadas, repasaremos los
conceptos del producto notable del cuadrado de la suma de dos cantidades desde
el punto de vista geométrico lo cual nos ayudara a inducir la demostración del
Teorema de Pitágoras a través de triángulos rectángulos notables e isósceles
rectángulos, tomando en consideración el área de los cuadrados que se encuentra
en los lados de dichos triángulos. Esto nos ayudara a recalcar la
generalización del Teorema de Pitágoras a través de figuras regulares. Las
deducciones se harán pasando de la rama de la matemática llamada Algebra,
conjugándola o dándole soporte con otra que muestra la forma estructural, como
lo es la Geometría.
“El
desarrollo de los procesos cognitivos en el campo de la Didáctica de
la Matemática es capaz de ayudar a nuestros estudiantes en la resolución de
problemas de geometría, los cuales se deben realizar coordinando la
caracterización propuesta por Duval (1998) y desarrollados por Torregrosa, G. y
Quesada, H (2007) en la ultima referencia, en donde el proceso cognitivo
de visualización está íntimamente relacionado con la forma geométrica de
la figura, es decir, su configuración y el razonamiento se basa en
aplicar las afirmaciones matemáticas que les corresponda algebraicamente. La
coordinación de estos procesos cognitivos les permitirá construir una
teoría para deducir el Teorema de Pitágoras desde una representación
geométrica, tomando en consideración los cuadrados que se coloquen sobre los
lados de un triángulo rectángulo cualquiera, tomando en consideración la idea
de área, esto es, si
son las áreas de los cuadrados
construidos sobre las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo y
es el área del cuadrado construido
sobre la longitud de la hipotenusa, entonces se debe cumplir que
”[1]
“En la historia de la matemática, se le atribuye a Bhaskara
una demostración del Teorema de Pitágoras en el siglo XII en donde asocio la
formula
con el área de los
cuadrados que estaban sobre los lados de un triángulo rectángulo (
sobre las longitudes de los
catetos y sobre la longitud de la hipotenusa) y operando con los cuadrados que
estaban sobre las longitudes de los catetos logro formar el cuadrado que esta
sobre la longitud de la hipotenusa.
Ahora, durante mucho tiempo, tomando en consideración la
idea de área se ha pensado en la posibilidad de construir figuras geométricas
sobre los lados del triángulo rectángulo que cumplan esta relación y operando
con los triángulos equiláteros, polígonos regulares y semicírculos nos damos
cuenta que efectivamente se cumple.
Nos daremos cuenta que de una manera muy aproximada podemos
extender el Teorema de Pitágoras al caso en el cual sean semicírculos los que
estén sobre los lados del triangulo rectángulo, tal como lo señala Jiménez,
2004, pp 103-117, cuando dice: Manteniendo la línea de pensamiento griego
orientada hacia la comparación de figuras, Arquímedes demuestra que cualquier
círculo “es igual” (es decir tiene la misma área) que un triángulo rectángulo
uno de cuyos catetos es igual al radio y el otro igual a la circunferencia del
círculo. En tal sentido, cuando tengamos los semicírculos sobre los lados del
triángulo rectángulo podemos aplicarle lo anterior a cada uno, y luego que
obtengamos los triángulos rectángulos respectivos usamos la cuadratura del
triángulo a cada uno para transformarlos en cuadrados y volvemos a usar la
parte primera para ver que se cumple la relación Pitagórica para los
semicírculos.
Por su parte, existen otras figuras geométricas curvilíneas
como lo son las lúnulas, las cuales cumplen la relación del Teorema de
Pitágoras cuando están sobre los lados de un triángulo rectángulo, en ese
sentido lo que podemos obtener para cada lúnula son triángulos isósceles que
sean de área “igual” al de las lúnula y aplicarle la cuadratura respectiva a
cada una de ellas hasta obtener la relación deseada a través de los cuadrados
que se forman, los cuales cumple con todo lo mencionado al principio”[2].
De esta manera las típicas clases
en las cuales se expresa el teorema de Pitágoras como:
“En un triángulo rectángulo el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos)”.
Entonces, el cuadrado
de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):
a2 + b2 = c2
|
Se convertirían en un espacio
donde abordemos el teorema de Pitágoras desde una postura geométrica
(comparación de áreas) partiendo de:
“El área de un cuadrado situado en la hipotenusa de
un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados
situados sobre los lados que contienen el ángulo recto".
Entonces, C=A+B
Veamos las siguientes formas de triángulos rectángulos. A la
izquierda tenemos un triángulo rectángulo escaleno que cumple una de las ternas
pitágoricas 3,4,5, y a la derecha tenemos un triángulo rectángulo e isósceles
con a=b
Y nos podemos dar cuenta que la suma de los cuadraditos del cuadrado de
lado
mas los cuadraditos del cuadrado de lado
nos dan la cantidad de cuadraditos que
esta en el cuadrado de lado
. De donde podemos concluir que se cumple la
igualdad:
lo probamos que a2 + b2 = c2 , a manera ilustrativa y fácil de llevar al aula.
Pero nuestro interés es el trabajo con
las áreas. Veamos ahora si el área del cuadrado a más el área del cuadrado b es
igual al área del cuadrado c.
Sabemos que el área de un
cuadrado esta dada por: A=L*L
Para el cuadrado
de lado 4, tenemos:
A=4*4=16
Para el cuadrado
de lado 3, tenemos:
A´=3*3=9
Para el cuadrado
de lado 5, tenemos:
A´´=5*5=25
Veamos si:
Efectivamente el área del
cuadrado
más el área del cuadrado
, nos queda el área del cuadrado
Partamos ahora del triángulo
rectángulo isósceles mostrado en la figura de la parte derecha.
Para pasar luego al principal
objetivo que se busca con el desarrollo de la propuesta didáctica basad en el
teorema de Pitágoras, y es, formular
dicho teorema de la siguiente manera:
“El área de una
figura situada en la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la
suma de las áreas de situados sobre los lados que contienen el ángulo
recto".
[1] BARRETO G. Julio Cesar. Deducciones
del Teorema de Pitágoras a lo largo de la historia como recurso didáctico en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática. Universidad
Nacional Abierta. Centro Local Yaracuy. Área de Matemática
[2] BARRETO G. Julio Cesar. Otras deducciones o extensiones del teorema de
Pitágoras a lo largo de la historia, como recurso didáctico
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